Questa sezione è stata realizzata grazie alla collaborazione della prof.ssa Susan A. Osterhaus. In essa è possibile trovare le risposte alle domande più frequenti. Segue un elenco di domande, per visualizzare le risposte è sufficiente scegliere il link corrispondente.
Versione originale delle FAQ in lingua inglese.
D1. Disegnare la bisettrice di un angolo.
D2. Trovare le radici di un'equazione.
D3. Risolvere le operazioni con la dattilobraille.
D1. La studentessa con cui lavoro utilizza il Braille al nono livello e si trova in una classe superiore. Dal momento che non utilizza né fogli di metallo né la tecnica di disegno Sewell con i bordi in rilievo, spero che possa darmi qualche informazione su come la mia studentessa possa imparare a bisecare gli angoli utilizzando il tatto.
R1. Per le costruzioni, neppure i miei studenti utilizzano i fogli di metallo o la “normale” tecnica di disegno Sewell con i bordi in rilievo. Noi utilizziamo una gomma particolare collocata su una superficie piatta di qualsiasi tipo. Sia io che alcuni dei miei studenti abbiamo una predilezione per una vecchia tavola da disegno Sewell con i bordi in rilievo con elementi in gomma, attaccata ad una lavagnetta per appunti, che mi consente di attaccare i miei appunti in Braille evitando che scivolino via. Altri però utilizzano una lastra di gomma collocata su una normale tavola da disegno in legno, o su un banco. Altri ancora preferiscono una analoga lastra di gomma su una base in legno, della Howe Press, perché anch’essa è dotata di un sistema per tenere fermi i fogli. Oltre ad essa, ci vuole un compasso Braille, prodotto dalla Howe Press. Questo compasso ha una punta regolare, mentre dall’altra parte c’è una rotellina per tracciare. Non sono stata capace di trovare questi compassi in nessun altro posto; se lei conosce un altro fornitore, la prego di farmelo sapere. Poi ci vuole un regolo: se non si possiede un regolo, si può utilizzare una qualsiasi riga da disegno per vedenti, dal momento che la studentessa sa leggere il Braille. Infine, ci vuole una rotella per tracciare: potrà trovarne una presso la sede dell’assistenza sociale, o presso la Howe Press, o nel kit APH per il disegno tattile, oppure in un qualsiasi negozio di ferramenta e hobbistica. Per far bisecare un angolo alla sua studentessa, lei deve dapprima prendere un foglio di carta Braille (non la sottile plastica Sewell) e collocarla sulla superficie rivestita in gomma (sulla tavola). Tracci l’angolo che la studentessa dovrà bisecare utilizzando un regolo e una rotella per tracciare. Tolga il foglio dalla tavola. Etichetti l’angolo con una “A” al vertice utilizzando la tavoletta Braille e il punteruolo, oppure la Dattilo-braille. Rimetta il foglio Braille sulla tavola e chieda alla studentessa di bisecare l’angolo A. La studentessa dovrà prima girare il foglio. Collochi la punta del compasso sul punto A e tracci un arco, fissando due punti “B” e “C” sui rispettivi raggi dell’angolo. Volti nuovamente il foglio di carta. Collochi la punta del compasso sul punto B e tracci un arco nella parte interna dell’angolo. Mantenendo la stessa impostazione, collochi la punta del compasso sul punto C e tracci un arco, individuando il punto “D”, vale a dire l’intersezione dei due archi. Volti il foglio di carta e disegni un raggio, “AD”, che è la bisettrice dell’angolo A. Ecco fatto!! Servendosi di una tecnica analoga, utilizzando soltanto un compasso e un regolo, uno studente cieco (o chiunque altro) è anche in grado di copiare un segmento di una linea, di bisecare un segmento, di copiare un triangolo, di copiare un angolo, di costruire la bisettrice perpendicolare di un segmento, ecc. Queste sono le stesse tecniche di base che verrebbero adottate da un insegnante di matematica, se si esclude il fatto che lo studente che usa il Braille normalmente preferisce voltare il foglio di carta per utilizzare al meglio il disegno in rilievo sul lato opposto. Il risultato finale viene valutato con facilità dall’insegnante di matematica ed inoltre consente allo studente di lavorare regolarmente in classe durante la procedura di costruzione.
D2.Ho uno studente che utilizza il Braille e frequenta un corso di matematica all’11° livello. La prossima settimana, lui e la sua classe impareranno a risolvere le equazioni di secondo grado con i calcolatori grafici. Ha il programma Graphit su un sistema BNS. La mia domanda è questa: esiste un modo di utilizzare il programma Graphit, oppure la calcolatrice scientifica, sull’apparecchio BNS, in modo da estrarre le radici di un’equazione? Se non esiste, può consigliarmi qualche alternativa, possibilmente una che gli consenta di lavorare in maniera indipendente? La ringrazio molto per l’aiuto.
R2. La capacità di “vedere” il collegamento fra un grafico e la sua equazione può essere utile sia agli studenti che utilizzano la vista che a quelli che usano il tatto. Io utilizzo ancora il vecchio metodo con i miei studenti ipovedenti o ciechi: faccio loro realizzare manualmente il grafico di alcune funzioni scelte di secondo grado, su carta millimetrata stampata in caratteri grandi o su tabelle per grafici. In questo modo essi scoprono che le ordinate x costituiscono le radici della relativa equazione di secondo grado. Poi passiamo ad utilizzare la Calcolatrice Accessibile per i Grafici (AGC) della ViewPlus Software. Le calcolatrici per i grafici danno agli studenti un maggior numero di possibilità di ottenere questo collegamento in tempi brevi. Per risolvere una particolare equazione di secondo grado espressa in maniera standard (trovare le radici), il suo studente dovrebbe essere in grado di fornire le relative istruzioni al sistema Graph-It (o alla AGC) per realizzare il grafico della relativa funzione di secondo grado. Poi scoprirà che gli zeri sono le ordinate x. In altre parole, le vere radici dell’equazione di secondo grado saranno i valori di x dove la funzione attraversa l’asse delle ascisse. Ad esempio: eseguire il grafico della funzione y = x2-2x-3 per trovare le radici di 0 = x2-2x-3. Il grafico attraversa l’asse delle ascisse nei punti x = -1 e x = 3. Pertanto le radici di 0 = x2-2x-3 sono -1 e 3. Se le radici non sono numeri interi, probabilmente non sarà possibile determinare in questo modo il valore preciso delle radici, ma la risoluzione delle equazioni di secondo grado per mezzo di un grafico è ancora un modo veloce per determinare il NUMERO delle radici effettive, il che costituisce un’informazione di grande valore. Potrei aggiungere che quando i miei studenti ciechi eseguono manualmente il grafico di una funzione di secondo grado con zeri integrali, riescono ad ottenere risposte precise. Quando uno studente ipovedente utilizza la sua calcolatrice scientifica per i grafici TI-82 e la sua funzione tracciante, ottiene il numero corretto di zeri con l’approssimazione di qualche decimale! Ad esempio, se x = 1, la calcolatrice per i grafici potrebbe rispondere che x = 1.0021053. Con la AGC otteniamo frequentemente approssimazioni simili. Dal momento che possiamo trovare soltanto soluzioni approssimative alle funzioni di secondo grado utilizzando il metodo del grafico, l’insegnante di matematica dovrà successivamente insegnare ai suoi studenti come risolvere ALCUNE delle equazioni di secondo grado per mezzo della scomposizione in fattori. Infine, l’insegnante dovrà spiegare al suo studente la formula di secondo grado, che gli permetterà di risolvere QUALSIASI equazione di secondo grado. Con gli strumenti adatti e con la sua guida, il suo studente dovrebbe essere in grado di completare in maniera indipendente tutto il lavoro sopra descritto.
D3. Quanta importanza ha per i nostri bambini delle elementari poter risolvere un problema con una sottrazione usando la Dattilo-braille (ad esempio, una sottrazione di tre cifre con segni di cancellazione) se già utilizzano l’abaco? Quando si dà loro un problema contenente una sottrazione, sulla Dattilo-braille, bisogna chiedere loro di risolvere questo problema da destra verso sinistra?
R3. Risponderò alla tua domanda dal punto di vista di un insegnante di matematica di scuola secondaria. Credo che gli studenti delle elementari debbano essere addestrati a risolvere problemi con addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni sulla Dattilo-braille con una precisa collocazione spaziale (senza dover necessariamente utilizzare segni di cancellazione) fino a quando non comprendono il concetto. Dovrebbero riuscire a risolvere questi problemi in maniera molto simile a quella di uno studente vedente: nel caso della sottrazione, da destra verso sinistra. Anche se il libro di testo o il foglio di lavoro dovesse riportare alcuni esempi utilizzando il corretto Codice Nemeth, comprendente i segni di cancellazione, è bene far sì che le procedure di calcolo degli studenti siano facili e veloci. I tuoi studenti possono sempre utilizzare l’abaco per controllare il lavoro che svolgono con la Dattilo-braille; ciò nonostante, dovrebbero imparare anche le tecniche matematiche mentali. Una volta appreso questo concetto, la velocità, la precisione e la flessibilità diventano più importanti e noi dovremmo riuscire a vedere gli studenti compiere rapidi progressi passando all’abaco e alle tecniche matematiche mentali, alle calcolatrici di base ed infine alle calcolatrici scientifiche, quando iniziano a studiare la matematica superiore. Se uno studente cieco non ha mai avuto occasione di risolvere un problema matematico in una dimensione spaziale (con la Dattilo-Braille, con il sistema Tack-Tiles [mattoncini tipo Lego, con lettere Braille in rilievo sul lato superiore], o con altri strumenti atti alla manipolazione, ma ha utilizzato esclusivamente l’abaco, quando studierà algebra molto probabilmente incontrerà difficoltà con i concetti di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione dei polinomi, se questi gli verranno presentati in una collocazione spaziale. Ciò vale in particolar modo per la divisione: è praticamente impossibile manipolare variabili con un abaco.
D4. Dovendo insegnare l’argomento delle misure lineari ad uno studente cieco, ho un quesito: in che modo posso affrontare l’insegnamento dei concetti di perimetro e di area?
R4. Insegnerei le misurazioni lineari in maniera molto simile a quella utilizzata per insegnarle ad uno studente vedente. Negli Stati Uniti utilizziamo normalmente due diversi sistemi per calcolare la lunghezza. Indurrei i miei studenti a misurare svariati oggetti di uso quotidiano utilizzando sia una riga da disegno normale che una riga Braille, insistendo sul concetto della precisione. Lavoreremmo anche su diversi problemi che richiedano la valutazione e l’utilizzo del sistema di misurazione più “sensato”, prendendo in considerazione entrambi i sistemi. Inoltre, effettueremmo conversioni da un sistema di misurazione all’altro, e dal sistema metrico di misurazione della lunghezza all’altro. Sarebbe inoltre consigliabile presentare allo studente una serie di disegni dai contorni in rilievo e chiedergli di misurarli. Da qui, potremmo passare al concetto di perimetro. Per uno studente principiante potremmo definire il perimetro come la distanza attorno ad una data forma (più avanti parleremo di un poligono). Potremmo far camminare lo studente attorno all’edificio scolastico, al bordo “perimetrale” del cortile della scuola, oppure lungo il vialetto che la circonda, facendogli contare il numero dei passi. Lo studente che percorre il vialetto imparerebbe ben presto quanti giri attorno al “perimetro” dell’edificio corrispondono ad un chilometro, ad un miglio, a cento yarde ecc. Poi consegnerei allo studente un disegno dai contorni in rilievo, magari la rappresentazione di un quadrato. Utilizzando una cordicella, potremmo riprodurre il perimetro del quadrato e tagliare la cordicella in modo che vi corrisponda perfettamente: a questo punto, la lunghezza della cordicella sarebbe equivalente al perimetro del quadrato. Poi potremmo esaminare e determinare il perimetro di una serie di disegni dai contorni in rilievo, rappresentanti un rettangolo, un triangolo, una figura trapezoidale, un pentagono ecc., segnando accuratamente in Braille le dimensioni di ogni lato, utilizzando il sistema metrico decimale o il sistema da noi più comune. Dopo aver calcolato il perimetro di molte diverse figure, lo studente potrà scoprire la formula relativa al perimetro (o circonferenza) di un cerchio. Per imparare a calcolare l’area, possiamo dire che, proprio come siamo in grado di misurare le distanze attorno a determinate forme, possiamo anche misurare quanta superficie (area) è contenuta all’interno dei lati di una data forma (o poligono). Fortunatamente, il pavimento della mia aula è costituito da piastrelle quadrate della misura di un piede, perciò possiamo determinare quante di queste piastrelle quadrate sono necessarie per rivestire la superficie del pavimento dell’aula. Tutti si entusiasmano quando scopriamo un sistema molto più facile per determinare questa superficie, moltiplicando la lunghezza dell’aula per la sua larghezza. Dopo di che, si può passare a diversi strumenti di manipolazione. Alcune forme realizzate su carta con contorni a rilievo possono essere tagliate a pezzi e nuovamente assemblate per creare forme diverse aventi la stessa area. Le tavole in gomma con i grafici possono essere suddivise con fasce di gomma, in modo da creare forme diverse, e i quadrati della griglia così realizzata possono essere contati per determinarne l’area. Le mattonelle in legno possono essere assemblate in modo da creare forme diverse e determinarne l’area. A questo punto, questa conoscenza può essere trasferita ai disegni dai contorni in rilievo che illustrano il concetto di area: lo studente dovrebbe proseguire calcolando l’area di un quadrato, di un rettangolo, di un parallelogrammo, di un triangolo, e infine di forme più complesse; infine, lo studente può studiare questa formula e utilizzarla per calcolare l’area di un cerchio.
D5. Il mio primo amore è il Braille, ma quest’anno sarà una vera sfida, dato che è la prima volta, in più di 16 anni, che dovrò collaborare all’insegnamento dei primi elementi di algebra a uno studente cieco. La prossima settimana ci occuperemo degli alberi fattoriali; sono in grado di farcela, ma apprezzo qualunque suggerimento.
R5. Oggi che le calcolatrici scientifiche sono tanto necessarie nello studio della matematica a livello secondario, sono felice di suggerirle un facile sistema di utilizzo dell’abaco (Nota: anche se le calcolatrici scientifiche della mia scuola non sono in grado di scomporre un numero in numeri primi, il mio software informatico Scientific Notebook riesce a farlo). I miei studenti utilizzano il metodo “Osterhaus” per la scomposizione in numeri primi con l’abaco. Tendono a spaventarsi davanti agli “alberi fattoriali”; tuttavia, so che questo è il modo in cui la scomposizione viene insegnata, o perlomeno presentata, nell’algebra per principianti. Però alla fine (perlomeno nel mio libro di testo) viene insegnato il metodo della “divisione ripetuta”. Il metodo Osterhaus consiste semplicemente in questo metodo della divisione ripetuta calcolata con l’abaco. Di solito mi limito a mostrare agli studenti il modo in cui devono procedere ed è difficile spiegarlo a parole; comunque, ci proverò. Collocare l’intero numero da scomporre in fattori all’estrema destra dell’abaco; viene definito dividendo. Poi, iniziando dal 2 (il numero primo più piccolo), controllare se ogni numero primo è un fattore del dividendo. Se sì, collocare il primo numero primo all’estrema sinistra dell’abaco e dividere il dividendo per il numero primo. Sostituire il dividendo con il risultato ottenuto (il quoziente), che diventa il nuovo dividendo. Continuare (collocando ogni nuovo numero primo che è un fattore nella colonna alla destra dell’ultimo fattore e sostituendo il quoziente con un nuovo dividendo) finché non si arriva al quoziente pari ad 1. Ad esempio, collocare l’intero numero 420 all’estrema destra dell’abaco (il 4 nella colonna delle centinaia, il 2 nella colonna delle decine e lo 0 in quella delle unità). Iniziare dal 2, scoprendo che è un fattore di 420. Pertanto, collocare il 2 all’estrema destra dell’abaco (colonna dei trilioni) e sostituire 420 con 210 all’estrema destra dell’abaco. Provare di nuovo con il 2, scoprendo che è un fattore di 210. Collocare un altro 2 direttamente alla destra del primo 2 (colonna delle centinaia di miliardi) e sostituire 210 con 105 all’estrema destra. Il 2 non è un fattore del nuovo dividendo, perciò provare con 3. Il 3 è un fattore di 105. Collocare il 3 direttamente alla destra del secondo 2 (colonna delle decine di miliardi) e sostituire 105 con 35 all’estrema destra. Il 3 è un fattore di 35? No, perciò proviamo con il prossimo numero primo, il 5. Sì, il 5 è un fattore di 35; perciò, collochiamo il 5 direttamente alla destra del 3, nella parte sinistra dell’abaco (colonna dei miliardi) e sostituiamo il 35 con il 7 all’estrema destra. Il 5 non è un fattore del 7, ma il 7 sì. Perciò collochiamo il 7 direttamente alla destra del 5 nella parte sinistra dell’abaco (colonna delle centinaia di milioni) e sostituiamo il 7 con l’1 all’estrema destra. Dal momento che il quoziente è ora 1, la scomposizione in numeri primi è ora completa. Leggendo da sinistra a destra, la scomposizione in fattori sarà: 2 x2 x 3 x5 x 7 oppure 22 x3x5x7. Esistono infinite varianti. Se il numero da scomporre in numeri primi è molto lungo, potrebbe essere necessario utilizzare due abachi, uno per il dividendo ed uno per i fattori. Alcuni studenti hanno bisogno di avere uno spazio fra un fattore e l’altro, e anche in questo caso due abachi diventerebbero indispensabili. Se il numero è estremamente lungo, lo studente potrebbe chiedere di poter utilizzare una calcolatrice per la diverse divisioni e un abaco (o due abachi) per registrare i fattori. I miei studenti utilizzano questo metodo di scomposizione in numeri primi quando devono determinare il Massimo Comun Denominatore (MCD) o il Minimo Comune Multiplo (MCM) per i numeri di una certa lunghezza.
D6. Ho uno studente che utilizza il Braille al settimo livello e che presto frequenterà le lezioni di matematica in una classe regolare. Fra gli argomenti di studio ci sono:
- Le traslazioni (i piani inclinati)
- Le riflessioni
- Gli assi di simmetria
- Le tassellature
Ho alcune idee per l’insegnante ma, essendo cieco a mia volta, so che questi concetti possono essere molto difficili da comprendere. Apprezzo qualunque suggerimento da condividere con l’insegnante di classe.
R6. Di solito spiego le traslazioni, le riflessioni e le rotazioni (dette anche trasformazioni) tutto assieme. Poiché sono una convinta assertrice dell’utilizzo di strumenti manipolabili (per i ciechi ma anche per i vedenti), tiro fuori la mia scatola di triangoli e quadrilateri misti, scelgo due poligoni irregolari simili fra loro e li colloco uno sopra l’altro; i miei preferiti sono due triangoli scaleni. Poi inizio ad inclinare, a spostare o a ruotare la figura manipolabile posta al di sopra per simulare una traslazione, una riflessione o una rotazione. La figura manipolabile collocata di sotto rimane al suo posto, in quanto rappresenta la figura originale. Tutto ciò è assolutamente conforme alle spiegazioni fornite dalla maggior parte dei libri di testo stampati, che spesso mostrano la figura originale in rosso e la figura traslata in nero. Se vuole che il suo studente effettui la traslazione di una figura fino ad un dato punto, la faccia ruotare in modo che assuma una nuova posizione e faccia sì che si rifletta su una data linea; potrebbe utilizzare quattro figure simili fra loro. Io probabilmente userei alcuni strumenti manipolabili magnetici, o rivestiti di velcro, in uno spazio ristretto, in modo che restino fermi al loro posto. Si accerti di mostrare allo studente i grafici tattili del libro di testo che spiegano queste trasformazioni, in modo che si familiarizzi con le spiegazioni che gli vengono fornite da un libro di testo “medio”. Se questi grafici sono di qualità scadente, ne costruisca lei alcuni, utilizzando uno Stereocopier (convertitore di figure stampate in figure a rilievo) e carta per i disegni a rilievo. Inoltre, io mostro ai miei studenti vari esempi di test sulle trasformazioni estratti da uno dei molti testi TAAS di matematica pubblicati in Braille dalla Region IV di Houston, nel Texas. L’editrice Region IV pubblica splendidi esempi di grafici tattili su fogli metallici. Quando devo spiegare il concetto di assi di simmetria, dico ai miei studenti di ripensare ai tempi in cui erano bambini e costruivano cuoricini per San Valentino ritagliando un pezzo di carta piegato in due. Che ci creda o no, i miei studenti del liceo si divertono a piegare un foglio di carta Braille e a tagliarlo a forma di cuore o di qualche altra figura simmetrica. Io spiego loro che il bordo ripiegato è un asse di simmetria. Poi ricorro nuovamente alla mia scatola con gli strumenti manipolabili, scegliendo due triangoli rettangoli simili. Dopo averli collocati uno sopra l’altro, sposto (rifletto) quello posto in alto al di sopra del segmento formato da uno dei lati, in maniera da creare un triangolo isoscele più grande con un asse di simmetria (altezza) nel mezzo. Anche lei può far usare al suo studente fogli di carta ripiegati per determinare gli assi di simmetria delle figure studiate fino ad oggi (rettangoli, esagoni ecc.). Ripeto: faccia in modo di mostrare al suo studente le figure tattili del libro di testo relative alla simmetria e/o di realizzare personalmente alcuni grafici, come sopra descritto. Le tassellature, dette anche schemi di piastrellatura, sono costituite da un insieme di figure che riempiono un determinato piano senza però sovrapporsi o lasciare spazi vuoti. In una tassellatura “pura” si utilizza sempre un unico tipo di figura. Di solito inizio chiedendo ai miei studenti di esaminare il pavimento dell’aula, che è composto da piastrelle quadrate. Possiedo anche una serie di tesserine dalla forma di trapezoidi isosceli, che servono a creare una tassellatura. Poi passo al libro di testo, o ai grafici tattili di tassellatura, da me realizzati utilizzando rettangoli, triangoli equilateri, parallelogrammi, triangoli rettangoli, esagoni regolari ecc. Lascio che gli studenti li esplorino e che scoprano che qualsiasi triangolo o quadrilatero può essere usato per la tassellatura di un piano, ma che soltanto alcuni poligoni con più di quattro lati possono tassellare un piano. Le tassellature con più tipi di poligoni sono definite tassellature “semi-pure”. A questo punto, prendo le mie figure in legno Discovery Blocks della ETA (triangoli, quadrati, rettangoli e parallelogrammi doppi di diverse dimensioni) e chiedo ai miei studenti di realizzare una tassellatura. Un ragazzo ne ha realizzato una incredibilmente bella e ha collocato le tesserine di legno all’interno di una cornice: era davvero uno splendido lavoro di pavimentazione in legno.
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